evan_gcrm (evan_gcrm) wrote,
evan_gcrm
evan_gcrm

Небесная механика упакованная в часы

Оригинал взят у vedaveta


Религия и часовое дело тесно сплетены с момента зарождения последнего. Первые механические часы, поначалу даже без циферблатов, были башенными, и служили для нужд определения времени службы прихожанами. И, несмотря на то, что сейчас это вполне светский предмет обихода, сочетание головоломных упражнений по вычислению даты Пасхи с мерной работой механизма завораживает, напоминая о тех временах, когда люди только начали вести счёт дням и часам с помощью механики.


Математика

Весьма любопытно происхождение слова компьютер.
Как выясняется оно тесно связано с пасхальными вычислениями.
Примерно 1000 лет назад существовало латинское слово computare, состоявшее из двух частей — com (вместе) и putare(считать, полагать, рассматривать, рассчитывать). В VI веке computare и computus в основном использовали для обозначения специфических расчетов, связанных с определением даты праздника Пасхи. На латыни и английском написании, сегодня слово Computus обозначает способ вычисления даты Пасхи.

Алгоритм интеркаляции александрийской пасхалии строится на основе лунной епакты, которая представляет собой возраст луны на определённую дату. В случае александрийской пасхалии под епактой понимается возраст луны 22 марта.

Алгоритм определения пасхального полнолуния (14-й луны) формулируется следующим образом:

- первый год 19-летнего цикла выбирается так, что епакта на 22 марта равна 0 (nulla epacta)
- епакта = епакта предыдущего года + 11, если предыдущий год был простым, или
- епакта = епакта предыдущего года — 19, если эмболисмическим);
- если епакта ≤ 15, то следующее полнолуние (22 + 14 — епакта) марта является пасхальным полнолунием;
- если епакта > 15, то к текущему лунному году следует добавить полный месяц (30 дней), сделав год эмболисмическим, и пасхальным полнолунием будет (22 + 30 + 14 — епакта) марта = (35 — епакта) апреля.


Этот алгоритм последовательно применяется ко всем годам 19-летнего цикла.

Дата православной Пасхи рассчитывается по александрийской пасхалии. Для заданного года определяется пасхальное полнолуние.

Из всех практических способов исчисления самым простым признается метод, предложенный крупнейшим немецким математиком Карлом Гауссом (1777 – 1855).
Карл Фридрих Гаусс в XVIII веке предложил следующий алгоритм вычисления даты Пасхи:

Пасхальное полнолуние (Y) = 21 марта + (19·(Y mod 19) + 15) mod 30
где Y — номер года от Р. Х., m mod n −остаток от деления нацело m на n. Если значение Полнолуние(Y) ≤ 31, то дата полнолуния будет в марте; Если значение Полнолуние(Y) > 31, то следует вычесть 31 день, и получится дата в апреле.

d = (19·(Y mod 19) + 15) mod 30

например, 2007 mod 19 = 12,d = (19·12 + 15) mod 30 = 3, Полнолуние(2007) = 21 марта + 3 = 24 марта

b = (2·(Y mod 4) + 4·(Y mod 7) + 6·d + 6) mod 7

например, 2007 mod 4 = 3, 2007 mod 7 = 5, итак для 2007 года b = 1

Если (d+b) > 9, ТО Пасха будет (d+b-9) апреля ст. стиля, ИНАЧЕ (22+d+b) марта ст. стиля.

Получаем 22 + 3 + 1 = 26 марта (ст. ст) или 26 марта + 13 = 8 апреля (н.ст.).

Дата Пасхи может попадать в период от 22 марта до 25 апреля по ст. стилю. (В XX—XXI веках это соответствует периоду с 4 апреля по 8 мая по н. стилю).

Проанализировав формулы Гаусса я преобразовал их в свой алгоритм.

Суть моего способа заключалась в получении наименьших габаритов программного устройства.
Например не представляется проблемным сделать, например, указатель Пасхи на больших башенных часах, требуется только изготовить колесо, имеющее 532 зуба, разбить его на кулачок с 35 уровнями.

И все готово.

Для малогабаритных устройств использование как большого количества зубьев, так и большого количества программных уровней требует экстра-повышенной точности, что с учетом возможностей изготовления непременно вызовет большие погрешности показаний.
Таким образом, целью было снизить количество уровней до приемлемого.

Напомню еще раз формулу определения даты Пасхи, это первое воскресенье после пасхального полнолуния.

Я проанализировал формулы Гаусса. И вывел в графике часть полученных значений.



В них видно: чтобы получить дату Пасхи нужно ввести d сложить его с b и получить требуемое значение и прибавить один: d+b+1

Но если проанализировать формулу получения значения b

b=(2·(Y mod 4)+4·(Y mod 7)+6·d+6) mod 7

можно заметить что в получении этого значения участвует значениеd, и соответственно цикл повторений значений b = 4х7х19 = 532 года, и используя эти формулы в механике я ничего не выигрываю, так как опять нужно использовать программное колесо с цикличностью в 532 года.

Поэтому я решил преобразовать формулу, убрав из нее данные о величинах d.

Таким образом, оставив только b = (2・е+4・f)mod7 ввел эти значения в наш график.



Несложно заметить, что высота новых столбиков значений b соответствует количеству дней до Пасхи за вычетом целых недель. Красными линиями я отметил семидневки.
Таким образом, чтобы получить требуемую дату Пасхи, необходимо разделить значение пасхального полнолуния d на 7, соответствующее количеству дней в неделе, и взять целое число от частного при делении.
Это будет значение n.
Теперь вроде бы все просто, нужно взять значение n, умножить на 7 и прибавить значение b и получим b. Но в некоторых случаях это правило не действует.



Проанализировав, мы заметим, что исключения из правил выпадают когда значения d-7·n больше или равно значения b, назовем это значение а. Которое добавим в наш график.



Теперь получим полную формулу, использование значений из которой удобно для использования в часах.

Для вычисления даты Пасхи необходимо к дате весеннего равноденствия (21 марта) прибавить число k – сдвиг (количество дней) даты Пасхи от 21 марта, которое определяется по формуле:

k = n・7+b

причем если а >= b, то n = n+1, а если а < b, то n = n,

где n — количество целых недель (7 дней), определяемое, как целая часть частного от деления d на 7, до опорной даты — даты пасхального полнолуния в году, а d — сдвиг опорной даты от 21 марта, определяемый по формуле:

d = (19・c+15)%30

где с — остаток от деления номера года на 19, то есть

с = year mod 19

а — сдвиг даты от n (количество целых недель (7 дней) до опорной даты) до опорной
даты d, определяемый по формуле:


а = d-n・7

где b — величина сдвига воскресений от даты весеннего равноденствия на конкретный год, определяемого по формуле:

b = (2・е+4・f)mod7

где е — остаток от деления номера года на 4, е = year mod 4,
f — остаток от деления номера года на 7, f = year mod 7.
g = mod 28 (остаток от деления номера года на 28)


При этом сдвиг даты весеннего равноденствия по солнечному циклу g в виде остатка от деления номера года на 28 определяют по формуле g = year mod 28.

Указанные ранее в приведенных таблицах величины запрограммированы в форме программных дисков b 1, а 2 и n 3 в виде механически считываемых и обрабатываемых исходных данных.

Полученные значения внесем в таблицу:



И по результатам значений a, b и n построим кулачки:



По нашей формуле определим алгоритм действий нашего механизма, ниже показана блок схема пасхального механизма:



Механика



В данных часах для запуска механизма указания и переключения даты Пасхи требуется много энергии. В этих часах для обеспечении надежной работы мной было использована энергия основной пружины, раз в год, а именно, с 31-го декабря на первое января срабатывает стартовый механизм переключения приводимый рычагом вечного календаря.



Рычаг переключения толкаемый кулачком, поворачивается и приподнимает гребенки из уступов программных дисков a, b и n и одновременно толкает звездочку, подпружиненную фиксатором. На оси звездочки закреплены два колеса 1 и 2, которые приводят в движение два других колеса 3 и 4 размещенных соосно, причем колесо 3 совершает один оборот за 28 лет, а колесо совершает один оборот за 19 лет.

На колесе 3 соосно размещен кулачок имеющий 28 уступов, на колесе 4 соосно размещены кулачки а и n имеющие по 19 уступов.

Вращаясь, кулачок привода системы переключения опускает гребенки и считывающие пальцы гребенок становятся на новые положения в уступах программных кулачков.



С кулачком n работает считывающая гребенка n, зубья которой передают движение на колесо редуктор, для увеличения угловой скорости и получения значения n・7.



С кулачком b, работает считывающая гребенка b, которая через передаточное колесо передает движение на центральное колесо дифференциального механизма.



Дифференциальный механизм содержит два центральных колеса, сателлиты и водило, на водиле суммируются угловые скорости центральных колес.

На выходе водила, мы получаем угловое значение n・7 + b.



Система сравнения данных предназначена для сравнения показаний с кулачка b и а, и содержит дополнительно кулачок а, гребенку a, промежуточные колеса и дифференциальный механизм, на водиле которого находится палец переключения. Если высота уступа кулачка b меньшее высоты уступа кулачка a, то палец отклоняется вправо и находится в уступе рычага коррекции. Не поворачивая при этом колеса дифференциального механизма коррекции. Если высота уступа кулачка а равна или больше высоты уступа кулачка b, то рычаг коррекции поворачивается влево и поворачивает колесо дифференциального механизма коррекции на определенный угол.



На выходе водила дифференциального механизма коррекции получаем суммирующее значение n・7 + b с учетом возможной коррекции на величину n. На водиле дифференциального механизма коррекции находится гребенка, передающая движение на колесо, на оси которого находится стрелка индикации даты Пасхи.

/Источник/





Спрятанное время
Астрономические часы Германии с 13 знаками зодиака
Часы с движущимися фигурками из разных городов Европы
Башенные и астрономические часы Франции
Механика
Пять стадий
Изобретение часов




Tags: Интересное, Технологии
Subscribe
promo evan_gcrm february 9, 22:43 76
Buy for 20 tokens
Жизнь - лукавое обольщение, желанная сладкая ложь, а смерть - неожиданная горькая правда, которой лучше вовсе не знать. А узнав, отменить усилием воли и забыть навсегда. Из всех искусств, которыми следует овладеть мудрому человеку, важнейшим является искусство самообмана: пока…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments