evan_gcrm (evan_gcrm) wrote,
evan_gcrm
evan_gcrm

Непостижимая эффективность математики | Часть №3

Оригинал взят у anairos


В 2013 году Дерек Эбботт опубликовал собственный ответ Хэммингу. Статья получила провокационное название Reasonable Ineffectiveness of Mathematics.


Математики, физики и инженеры.

Это субъективное и неточное наблюдение, но по моим данным, 80% математиков, с которыми я общался – платоники. Они верят, что математические объекты реальны, и мы не создаем их, а только обнаруживаем.

Физики, в свою очередь – в основном скрытые неплатоники. На людях они соглашаются с математиками, но в доверительной беседе из них можно вынуть противоположные мнения.

А вот инженеры открыто придерживаются неплатонических взглядов.
У них работа такая.
Любой инженер отлично знает, что такое аппроксимации и приближенные вычисления. Он помнит, что любая модель условна и верна лишь с определенной погрешностью. Стоит выйти за пределы ее применимости, и она начинает разваливаться.

Инженер знает также, что многие работающие модели намеренно упрощены, и умеет использовать их слабости.

Кроме того, у него есть определенная степень контроля над своей «вселенной». Если линейная модель не работает, он всегда может заставить свое устройство действовать только в том диапазоне параметров, где эта модель все же применима. В общем, он способен подгонять реальность и модель друг под друга.

Математик-платоник может утверждать, что число «пи» реально, потому что идеальная окружность существует независимо от любой вселенной. Инженер знает, что идеальной окружности не существует ни в какой вселенной, а значит, число «пи» – не более чем удобное ментальное приспособление.

Точно так же инженер относится к дельта-функциям, да и вообще к любым функциям. Они не существуют сами по себе, но их можно использовать, чтобы делать относительно точные предсказания.

В инженерных трудах регулярно встречаются кошмарные сущности вроде отрицательного времени, и инженеров это не смущает: они помнят, что за этими сущностями не стоит никакая объективная реальность. Их просто полезно использовать при расчетах.

Хэмминг в своей статье восхищается тем, как комплексные числа появляются в моделях самых разных явлений. По его мнению, тут впору подумать, что «Бог сотворил вселенную из комплексных чисел». Но для инженера это лишь удобный способ расчета вращений, а они, естественно, в физическом мире встречаются повсюду, так что ничего удивительного, что и комплексные числа тоже вездесущи.

Формула Эйлера связывает четыре великие константы: «е», «пи», единицу и мнимую единицу.

Красота этой формулы поражала много поколений математиков и физиков. Но даже ее магию можно отчасти рассеять, потому что для инженера она обозначает простую вещь: поворот на «пи» радиан вокруг центра координат равняется умножению на -1.

В инженерных расчетах часто используется странная математика многомерных пространств. По этим нематериальным мирам раскладываются сигналы, и там нужно найти гиперплоскость, которая оптимальным способом их разделяет. Конечный результат имеет практический смысл, но получен он при помощи несуществующих в нашем мире абстракций.


Существуют ли фракталы?

Роджер Пенроуз полагал, что красота фракталов – главный аргумент в пользу платонизма. Мы никак не могли предполагать, что простая итерационная формула даст такие потрясающие картины. Значит, вся эта красота действительно где-то существовала, а мы открыли ее.

- Первое возражение таково: есть бесконечное множество способов представления фрактальных данных. Чтобы увидеть красоту, нужно выбрать тот единственный способ, который представляется нам красивым.
- Второе возражение: вероятно, лишь крохотная часть итеративных формул дает фрактальные узоры, а среди них лишь немногие покажутся нам привлекательными. Вспомните, что любая случайная последовательность чисел содержит в закодированном виде все знания человечества. Если мы намеренно выбираем из этой последовательности только интересные участки – мы мухлюем.

Набор правил, порождающих прекрасный фрактал, ничем не отличается от набора правил, порождающих игру в шахматы или интересный клеточный автомат. Шахматная партия может содержать в себе бездну красоты и смысла (для нас), но это не значит, будто шахматы существуют неким абстрактным образом сами по себе. Их правила – детище человеческого ума, а не природы.

Платоник может возразить, что теории следуют из аксиом, мы не свободны в их выборе. Но я скажу, что и сами аксиомы – не более чем удобные ментальные конструкции. Даже элементарный счет вовсе не так очевиден, как может показаться.


Неэффективность математики.

Итак, мы привели аргументы в пользу довода, что математика – удобная мысленная конструкция. Теперь, чтобы еще больше развенчать вигнерову магию, покажем, что она даже и не настолько могущественна, как кажется.

Это хорошо заметно в электронике. В семидесятых годах, пока транзисторы были большими, мы создали на основе базовых физических принципов элегантные аналитические уравнения, которые хорошо их описывали.

Но теперь транзисторы стали настолько меньше, что ушли из области «микро» в область «нано», и оказалось, что прежние уравнения уже не работают. В них не учитываются некоторые досадные мелочи, которыми уже не удается пренебрегать на таком масштабе.

Так что теперь мы в основном пользуемся эмпирическими моделями, которые обсчитываются на компьютерах. Традиционная математика уже не может представлять нам реальность в достаточно компактной форме.

То же относится и к использованию уравнений Максвелла. В современных системах их уже никто не решает аналитически. Вместо этого мы гоняем электронные симуляции и используем численные методы.

Так происходит всякий раз, когда вычисления становятся слишком сложными. Мы бросаем уравнения и обращаемся к эмпирическим моделям и симуляциям.

Примечание.
Тут можно вспомнить еще и нейросети, которые считаются сейчас будущим программирования. Использование нейросетей – по сути, отказ не только от математики как таковой, но даже от понимания, каким именно образом мы вообще решаем задачу.

Платоник напомнит, что закон Ньютона позволяет весьма точно предсказывать поведение космических объектов. Но, из-за неотъемлемой случайности вселенной, мы можем проверить его точность лишь с какой-то погрешностью. Кроме того, хотя модель Ньютона и полезна, мы уже не верим, что она отражает объективную реальность. Этот престол занят четырехмерным искривленным пространством Минковского – пока не придет новый претендент.

Математика меньше подходит для описания биологических объектов, и еще меньше – для экономических и социальных. Не потому ли, что все они изменяются в нашем масштабе времени, и поэтому в них не удается находить симметрии и инварианты? И не может ли быть так, что неживая природа ничем не отличается, просто она слишком медленна, и поэтому создает иллюзию неизменности?

Тепловая машина в состоянии термодинамического равновесия бесполезна для нас: она не может извлекать энергию из окружающего пространства. Но если бы время нашей жизни равнялось времени одной термодинамической флуктуации, мы обнаружили бы, что теперь эта машина «работает».

Солнце кажется нам надежным источником энергии, потому что существует миллиарды лет. Но для бессмертного существа, живущего столько же, сколько вселенная, Солнце было бы лишь короткой вспышкой, стремительно превращающейся в красный гигант.

Наши масштабы весьма влияют на модели, которые мы строим.

- Первый довод Хэмминга: мы находим то, что ищем.

Это подтверждается практикой. Сейчас традиционная математика все чаще отходит на второй план, уступая бигдатому майнингу – массовым расчетам при помощи грубой компьютерной силы

- Второй довод Хэмминга: мы создаем математику под потребности задачи.

Платоник мог бы возразить, что в некоторых случаях инструмент был создан еще ДО того, как возникла задача. Минковский и Риман разработали теорию искривленного четырехмерного пространства намного раньше, чем Эйнштейн приспособил ее для общей теории относительности.

Но это возражение несостоятельно: подобные случаи – лишь капля в море множества математических теорий и моделей, которые так и не нашли никакого применения.

- Третий довод Хэмминга: наука отвечает не так уж на много вопросов.

Примером тому – линейные системы. В области линейных систем математика достигла заметного и важного прогресса. Линейность с ее принципом суперпозиции дает элегантные решения. А вот в нелинейных системах такого прогресса не заметно.

Мы видим, что математика невероятно успешна, потому что смотрим только на те области, в которых она успешна.

Тут можно было бы заметить, что, по странному совпадению, практически все фундаментальные процессы во вселенной описываются линейными системами. Но и это возражение субъективно: быть может, мы попросту считаем фундаментальным именно то, что линейно?

- Четвертый довод Хэмминга: возможно, эволюция задала нам начальные параметры.

Тут дополнить нечего. Зато к четырем доводам мы можем добавить еще два.

- Пятый довод: физические модели – сжатие реальности.

Модель хороша именно тем, что она «сжимает» бесконечно сложную вселенную до упрощенной схемы, которая помещается в человеческом разуме и существует в человеческом масштабе.

Все законы природы именно таковы. Реальность стохастична, в ней сильны хаос и случайность, но модели убирают все эти рваные края и острые углы.

В результате, когда мы «разжимаем» уравнения снова в картину мира, это не тот мир, в котором мы живем, а идеализированный, в котором очень многое идет не так. Это как просматривать видео, сжатое алгоритмом с потерями.

Пока расхождения невелики, ими можно пренебречь и считать нашу модель точной.

- Шестой довод: естественный отбор идей и теорий.

Магию Вигнера можно отразить, еще и вспомнив, что успешные математические теории – результат многовековой эволюции. Несть числа моделям, которые даже не дошли до бумаги, оставшись только в головах своих создателей («несть числа» – значит, мы буквально не знаем, сколько их было).

Если пассажир поезда дернул стоп-кран, и поезд остановился как раз вовремя, чтобы спасти жизнь другого человека, упавшего на рельсы, это может показаться чудом. Но чудесность уменьшается, если вспомнить, сколько раз до этого дергали стоп-краны на поездах.

Гений – это человек, у которого есть великая идея, а еще здравый смысл, чтобы никому не говорить о тысячах безумных идей.

А что насчет пришельцев?

Платоник мог бы сказать, что если у инопланетян есть математика, они точно так же придут к идее числа «пи», потому что отношение длины окружности к диаметру не может быть никаким другим.

Окружности – достаточно простые абстракции, так что, вероятно, инопланетяне тоже смогут их представить. Но к некоторым другим математическим объектам эта логика уже не применима. Вряд ли инопланетные математики смогли бы найти множество Мандельброта – или обратили бы на него внимание, если бы случайно обнаружили эту закономерность.

Может быть, им не нравятся упрощения и принцип бритвы Оккама. Может быть, их уравнения стохастичны и моделируют физические системы со всеми неизбежными помехами.

А может быть, их разум настолько могуч, что у них просто не возникало необходимости в цепочках выводов и в математике как таковой. Они вполне способны прокручивать сложные эмпирические модели прямо у себя в голове. Так что вопрос о непостижимой эффективности математики вообще никогда не вставал перед ними.

Раз банан, два банан, три банан, четыре...

Хэмминг в своей статье указывал, что уже существование целых чисел и их использование для счета – неочевидная вещь. Я с ним согласен, и тоже не принимаю их как должное.

Чтобы считать, мы должны вначале разбить некую часть реальности на части – одинаковые между собой и отделенные друг от друга. Где заканчивается один банан и начинается второй? Какая концентрация банана в пространстве должна считаться его отсутствием?

Представьте мир газообразных существ, обитающих в облаках. Смогли бы они вообще породить концепцию целых чисел и счета?

Да и считать бесконечно мы тоже не можем. Память удерживает лишь ограниченное количество информации. А бананы, сваленные в кучу, рано или поздно схлопнутся в черную дыру.

Дэвис утверждал, что и действительные числа тоже нереальны. Сама вселенная может вместить лишь около 10 в 122 степени бит информации, а значит, число «пи» невозможно ни вычислить, ни записать полностью.

Сильный антиплатонизм.

Все это время мы называли платонизмом веру в реальное существование абстрактных понятий.

Антиплатонизм, соответственно – вера, что все такие понятия созданы человеком. Реальность есть реальность, а все наши представления – лишь упрощения единственной истины.

Я предлагаю читателю рассмотреть сильный антиплатонизм: веру, что все наше познание окрашено антропоцентризмом, и все наши представления о мире не отражают ничего реального.

Классический пример: если бы через плоскость проходили трехмерные частицы, двумерный физик увидел бы двумерные частицы, которые возникают, существуют какое-то время и исчезают. Он мог бы составить теорию, описывающую это движение, но его теория, хотя и полезная на практике, имела бы лишь призрачное отношение к тому, что происходит на самом деле.

Мы живем в мире человеческих размеров, человеческих скоростей, человеческих масштабов времени. Мы изобрели хитроумные приборы, позволяющие нам высунуть нос за пределы этой сферы, но нам по-прежнему не дано ни всеведения, ни всемогущества.

Порой мы сознательно изобретаем теории несуществующих вещей ради удобства. В той же электронике есть уравнения, вычисляющие массы и скорости «дырок» в полупроводниках. Мы при этом отлично понимаем, что «дырки» – не реально существующие частицы, а упрощение, позволяющее проектировать сложные устройства.

Джон фон Нейман высказался на эту тему еще конкретнее: «Наука не объясняет мир и крайне редко его интерпретирует, она строит модели. Моделью я называю математический конструкт, который после некоторой вербальной интерпретации описывает наблюдаемые феномены. Единственное оправдание ее существования – она должна работать».

Непреложность.

Еще один способ увидеть хрупкость наших «законов природы» – задаться вопросом, какие из них могли бы оказаться неверными?

Когда я сам пробовал провести такой эксперимент, то не смог найти ничего, что не могло бы нарушиться. На достаточно большом или, наоборот, малом, масштабе любой закон природы способен исчезнуть.

Примечание:
Теория виртуальных частиц предусматривает, что они возникают из пустоты, совершают некую работу, после чего опять исчезают в никуда. Единственное условие – вся энергия, которая так возникла и исчезла, должна полностью содержаться внутри системы, и ее должно быть невозможно наблюдать извне.
Внутриатомные силы, отвечающие за сильное взаимодействие, не подчиняются закону обратных квадратов.
Темная энергия, чем бы она ни была, вообще действует противоположно всей известной нам материи. Например, она отталкивается от массивных тел.


Даже бритва Оккама, как бы она ни была привлекательна, не может всегда оставаться непобедимой. Физические данные показывают, что Бог далеко не всегда ею бреется. Весьма вероятно, что и она – способ фильтровать факты, приспосабливая их к нашему ограниченному разуму.

Заключение.

Наука – современная алхимия.
Она создает нам богатство, позволяя превращать простые вещи в драгоценности. От той, древней алхимии она отличается лишь тем, что избавилась от некоторых ошибок и потому действительно работает, но в своей самонадеянности заменила их намного худшими заблуждениями.

Природа куда страннее, чем мы предполагаем, и всегда находит способ озадачить нас.

Математика – продукт воображения, который хорошо работает с упрощенными моделями реальности. Платонизм следует признать опасным видом редукционизма, который разделяет единство реальности на воображаемые противоположности. Его идеалы не существуют. Однако существуют изящные упрощения, созданные ad hoc, и они бывают полезными, если мы осознаем их ограничения.

Математика – человеческий способ описывать паттерны и регулярности.

Понятно, почему она оказалась удобной для описания тех паттернов и регулярностей, которые мы видим в природе.
Насколько реальны они сами – вопрос скользкий, но пока мы можем их использовать, математика дает нам ощущение порядка.




Tags: Картина мира, Матиматика, Мнение
Subscribe
promo evan_gcrm march 28, 19:35 75
Buy for 30 tokens
Основополагающим элементом, основным двигателем всей жизни, является репликатор. Скопированная информация - это и есть «репликатор». На Земле первый репликатор довольно бесспорный - это гены, или информация, закодированная в молекулах ДНК. Точнее это первый репликатор, о котором мы знаем.…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments