evan_gcrm (evan_gcrm) wrote,
evan_gcrm
evan_gcrm

Законы арксинуса




Новичкам действительно везет.
Самооправдывающееся пророчество.
Везение.
Случай.


Представьте, что вы играете в азартную игру, угадывая орел или решка.
Угадали — выиграли. Не угадали — проиграли.
Монета подбрасывается примерно каждые 5 сек в течение рабочего дня, давая в итоге 10 тыс. испытаний.

А можете теперь представить, какова вероятность, что вы окажитесь в выигрыше 9930 раз при всего 70 проигрышах?

Интуитивно нам кажется, что такой вариант крайне маловероятен.


Хотя на самом деле, эта вероятность больше 10%.

Это 1-й Закон арксинуса для случайных блужданий — инерция тренда - «Закон везунчика» — в ходе отдельно взятой серии испытаний, сколь бы продолжительной она ни была, могут происходить даже са­мые маловероятные события

Везунчиком, например, запросто может быть игрок казино. Или трейдер, играющий против рынка. Причем даже если будет всего 20 испытаний, то все равно, в результате одна из сторон (трейдер или рынок) окажется везунчиком, а другая — неудачником. И чем больше число испытаний, тем вероятность этого выше.

[Рассмотрим более детально.]
Если представить результаты испытаний в виде кривой случайного блуждания в пространственно-временном измерении (допустим, верхняя половина — область успеха, а нижняя — неудач), то более строгая с научной точки зрения формулировка звучит следующим образом: при фик­сированной величине времени t (0 < t < 1) и числе испытаний (г), стремя­щемся к бесконечности, вероятность Р( к > г/2) того, что доля времени (к/г = t ), которую точка блуждания проведет в верхней (успешной) по­ловине графика, будет меньше t , и стремится к числу, определяемому по формуле:



Выделим, в первую очередь, следующие три положения, вытекающие из данной теоремы, которые важны в практическом плане:

наименее вероятным является событие: доля времени, которую точка блуждания проведет на какой-то одной стороне (положи­тельной или отрицательной), будет равна половине всего вре­мени испытаний;

наоборот, верным является то, что наибольшую вероятность име­ет событие: будут иметь место крайние значения, т.е. при к, стре­мящемся к г или О;

чем более продолжительными будут испытания, тем необрати­мее станет преимущество одного исхода над другим.

Согласно первому закону арксинуса, для серии испытаний г с идеальной монетой достижение баланса числа успехов и неудач — событие крайне маловероятное. Наиболее вероят­ный исход заключается в преимуществе какой-то одной сторо­ны. И чем выше значение г , тем это преимущество можетста­ новиться все более устойчивым.

Парадоксальность первого закона арксинуса по праву считается удивитель­ной!

Народное наблюдение по поводу того, что кто-то бился, колотился, а ниче­го не добился, — это, в известном смысле, иллюстрация 1-го закона арксинуса, с точки зрения неудачника. Естественно, для везунка все видится иначе: Иной Ивашка живет без промашки.

Таким образом, данная теорема позволяет, так сказать, воочию увидеть, в каком конкретном виде проявляет себя та или иная предрасположенность игрока, действующего в пространстве случайных событий.

Вопрос, который возникает в этой связи: как долго такой тренд удачли­вости (или неудачливости) может продолжаться?

Для рассмотрения этого вопроса необходимо представить механизм воз­никновения тренда удачливости (или неудачливости) в пространстве случайных событий.

В этих целях мы обратимся к такому понятию, как инерция.

Теоремы о возвращении в начало координат: волна.
Оценки возможной продолжительности тренда дают существующие теоремы о возвращении в начало координат. Они рассматривают смену времени удачливости пе­риодом невезучести (и наоборот), что на графике движения выражается возвращением точки блуждания на нулевую отметку.

О периодичности повторных возвращений можно судить по частоте ни­чьих (н). Поскольку, как мы знаем, г должно быть четным числом, то удоб­нее было бы обозначать общее число испытаний как 2г (г = 2г, где г — это целое положительное число, не равное нулю: 1, 2, 3 и т.д.).

Здравый смысл подсказывает, что чем больше испытаний, тем больше должно быть возвращений в начало координат, т.е. ничьих (н).

Это верно.

Но зависимость здесь не является прямо пропорциональной.
И на этот счет у В. Феллера приводится доказательства двух важных теорем:

✔️ Теорема №1. Основной является формула вероятности Р( н/2г) того, что точка вернется в начало координат н раз в течение периода испытаний 2г:



Можно рассчитать, что для всех испытаний, продолжительностью 2г, спра­ведливо неравенство:



Если его проанализировать, можно сделать следующие выводы:

1. Р(н = 0) = Р(н = 1) означает, что наиболее вероятным исходом будет полное отсутствие (н = 0) либо только одно (н = 1) возвращение в на­ чало координат.

2. Р( н = 1) > Р(н = 2) >... > Р( н = 2г) означает, что одно возвращение более вероятно, чем два (н = 2). Но, в свою очередь, это событие более вероятно, чем три возвращения и т.д.

Повышенная вероятность меньшего числа возвращений объясняется тем, что если уж точка отклонилась от нулевого уровня, то ей труднее вер­нуться обратно в начало координат, а тем более на противоположную сто­рону графика.

Таким образом, наиболее вероятными конфигурациями случайного блуждания являются тренд и полуволна:



Как видим, эти результаты полностью согласуются с 1-м законом арк­синуса.

Очевидно, что точку завершения полуволновой конфигурации мож­но рассматривать как начало координат для последующего развития собы­тий.
Тогда следующая полуволна приведет к волне вида уре­занной синусоиды (А) или ее нормального варианта (Б).



✔️ Теорема №2. Это конкретная оценка вероятностей, которые составляют содержание теоремы №1.

Речь идет о вероятности события, определенного как не более чем не­ которое заданное число возвращений в начало координат. Как раз об этом и говорит теорема №2.

В более строгой формулировке она звучит так: для некоторого фиксиро­ванного числа j > 0 вероятность того, что в серии испытаний от 0 до 2г точка блуждания вернется в начало координат не более j x (2г)0,5 раз (при возрас­ тании 2г до бесконечности), стремится к следующей величине:



Мы не будем анализировать эту функцию, а лишь подчеркнем, что веро­ятность пересечения нулевой отметки будет возрастать пропорциональ­но не 2г, а квадратному корню из этой величины (2г1/2).

Эта формула означает, что и длина волны будет также возрастать по мере увеличения числа испытаний.

В качестве примера у В. Феллера приведены результаты серий из 6000 ис­пытаний. При этом зафиксировано, что длина первой волны приблизитель­ но 1000, второй — 2000 и третьей — 3000 шагов:



По таблице нормальной функции распределения можно найти, что вероят­ ность того, что произойдет не более 0,6745 х (2г)05 возвращений в ноль, близка к 0,5.

Тогда можно посчитать, что, например, для 10 000 испытаний с вероят­ностью 0,5 произойдет не более 68 ничьих. Учитывая, что только полови­на приведет к смене лидерства (поскольку вероятность 0,5), средняя дли­на волны между последовательными изменениями лидерства составит примерно 300 шагов (в какой-то конкретной серии испытаний эта цифра, естественно, может быть иной).

В этой связи возникает еще один вопрос: о расположении максимумов.

Представление об этом позволит формулировать ожидания, обоснованны­ми соответствующими вероятностными оценками.


А есть еще и 2-й Закон арксинуса для случайных блужданий, математически описывающий две, казалось бы, противоречащие народные мудрости «новичкам везет» и «первый блин — комом» и заодно, объясняющий «закон бутерброда».

Согласно 2-му Закону арксинуса, существует сильная тенденция к расположению максимумов вблизи начальной или конечной точек пути блуждания.

Т.е. новичкам, действительно везет. Но не всем новичкам, а только удачливым. Иначе говоря, везет тем, «кого случай везет». А всем остальным новичкам гарантирован первый блин комом.

/Источник/




Tags: gamification, Везение, Технологии
Subscribe

Recent Posts from This Journal

  • Музыкальная пауза

    Lateralus - (Tool Cover) ft. Samuel Hope and Suphala P.S. The HU - Yuve Yuve Yu

  • «Парижская декларация»

    Год назад группа европейских интеллектуалов первой величины (учёные с мировым и европейским именем в соответствующих областях наук) издала…

  • Гипотеза Уязвимого Мира

    В своей новой работе "The Vulnerable World Hypothesis" Nick Bostrom, • классифицирует и анализирует сценарии, при которых технологические…

promo evan_gcrm march 28, 19:35 75
Buy for 30 tokens
Основополагающим элементом, основным двигателем всей жизни, является репликатор. Скопированная информация - это и есть «репликатор». На Земле первый репликатор довольно бесспорный - это гены, или информация, закодированная в молекулах ДНК. Точнее это первый репликатор, о котором мы знаем.…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 11 comments