evan_gcrm (evan_gcrm) wrote,
evan_gcrm
evan_gcrm

Category:

Прозрение Часть №1

Источник: apxiv

Многие вопросы гораздо проще чем кажется, если их рассматривать с другой точки зрения.

Все в начальной школе учили такую "таблицу умножения":

522484223

Скажите себе честно: это ТАБЛИЦА?


Ни о каком абстрактном мышлении здесь не может быть и речи - отвлекает всё, надо напрягаться даже чтобы просто прочитать. Но не будем сурово осуждать всех творцов, они хотели как лучше, а получилось как всегда.

Вместо злобствования попробуем немного поколдовать над всем известным, казалось бы простейшим предметом и последовательно очистить зерна истины от плевел маразма улучшательства.

Затем по принципу соблюдения необходимых и достаточных условий, отсекаем лишнее как скульпторы: все примеры умножения на 1 и 10 как элементарные и все повторы. Последнее очень важно, ведь при механическом запоминании следует бойкий ответ 6х8=48, а вот 8х6= уже вызывает заминку либо ошибку. При исключении повторов такое нереально, поскольку уже сама система подачи материала заставляет понять что это одно и то же. Кроме того, психологически облегчает учёбу не только снижение числа примеров со 100 до 36, но и последовательное уменьшение их количества в колонках:

914023096

Именно такой, сокращенный вариант (правда с колонкой 1 х ...= ) можно было увидеть на обложках школьных тетрадей до 1970-х гг. Несомненно, можно остановиться на этом для удобства механического запоминания, но понимания математики оно не добавит. Поэтому двигаемся дальше.

Внимательный читатель наверное заметил, что до сих пор мы говорили о ПРИМЕРАХ умножения, а не о ТАБЛИЦЕ умножения.

Смотрим как выглядит настоящая, легкая, удобная для запоминания таблица умножения с полным и правильным названием: таблица умножения И ДЕЛЕНИЯ, поскольку множители одновременно являются и делителями. Хорошо заметна симметрия таблицы из-за выделения идущих по диагонали квадратов чисел:

388836728
историческое название "таблица Пифагора"

670809144
а так выглядела в древности таблица умножения у шумеров:

Делаем последнюю концептуальную трансформацию - начинаем таблицу умножения не сверху, а снизу. Почему? Во-первых, это интуитивно понятнее: ниже - меньше, выше - больше, а направление слева направо сохраняется как совпадающее с направлением письма слева - меньше, затем направо - больше. Во-вторых ... расскажем чуть позднее.

Правильную таблицу умножения можно дать ученику и в готовом виде, но лучше всего если он сам её составит. Да-да. Это вполне доступно даже первокласснику!

Рисуем сетку и нумеруем ряды и столбцы с 1 до 9 - это соответствует примерам умножения на 1, они же будут выполнять функции сомножителя/кратности/во сколько раз.

Затем учеником заполняются ряд и столбец с 2 путем прибавления числа 2 для каждой последующей клеточки, затем ряд и столбец с 3 и так далее, получается простая таблица умножения:

825666894

Что это даёт?

Уже с начальной школы ученик привыкает к табличной форме, с которой ему потом придется часто встречаться, интуитивно понимает, что таблицы создаются как удобный и концентрированный справочный материал, часть из которого надо знать наизусть для удобства применения.

Поначалу для удобства пользования таблицей лучше пользоваться "уголком" для выделения строк и столбцов - вырезаем квадрат с одного угла чистого тетрадного листа. Привычка координатного поиска образуется достаточно быстро.

995632738

При таком подходе не нужно тупо механически запоминать колонки примеров умножения, а сразу можно дать пользоваться всей таблицей. Пусть она лежит перед глазами в помощь решению примеров и через некоторое время тренировок запоминание придет само, в неё ученик будет заглядывать все реже и реже.

Таблица должна стать тем же, чем она была изначально - помощью в работе. Упор всегда и везде должен быть не на запоминание, а на понимание и знание где можно найти справочный материал и как им пользоваться.

При самостоятельном заполнении таблицы умножения построчно сразу становится очевидным что умножение - это всего лишь многоКРАТНОЕ сложение, и соответственно деление - это многоКРАТНОЕ вычитание, поэтому легко приходит понимание принципиальной разницы выражений "на сколько больше/меньше" и во сколько раз больше/меньше". Это очень важно для последующего составления уравнений по условиям задач.

Выделение штриховкой или цветом диагонали (квадратов чисел) ясно показывает симметричность таблицы, т.е. равнозначность последовательности сомножителей и здесь избыточность материала играет в сторону закрепления его (повторение - мать учения) и самостоятельного выявления такой закономерности.

Уже потом, когда потребуется в процессе обучения, дети узнАют сколько полезного и интересного связано со знакомой с первого класса простенькой табличкой. Подобно Журдену из "Мещанина во дворянстве" Ж.Б. Мольера, который с удивлением узнал что он говорит прозой, детям надо будет только добавить новую терминологию и новые выводы.

Например, им будут говорить уже не просто о втором сомножителе или кратности сложения, а назовут его коэффициентом.

Каждая строка и столбец таблицы представляют из себя арифметическую прогрессию, от которой легко переходим уже к геометрической прогрессии, факториалам и прочим будто бы сложностям.

Если выделить любой прямоугольник на такой таблице, то в правом верхнем углу его будет указана площадь (чудо!), т.е. таким образом демонстрируется что алгебра и геометрия - это всего лишь разные способы отображения общих закономерностей единой науки математики. Другими словами, наглядно показывается что произведение чисел соответствует площади прямоугольника, а квадрат числа - это действительно квадрат (соответственно для куба надо рисовать третью координату). А отсюда легко переходим к решению геометрических задач алгебраическими способами и наоборот - смотря что удобнее.

Понимание графиков с осями Х и Y, названиями "абсцисса" и "ордината" уже не вызовет затруднений - это будет привычная с начальных классов форма представления материала, надо только дорисовать стрелочки. И... объяснить чем отличаются кардинальные числа от ординальных (они же количественные и порядковые соответственно).

В конце-концов и понимание интеграла как суммы бесконечно малых величин исходит именно из понимания сути умножения натуральных чисел (и опять геометрические аналоги - площадь на криволинейной трапеции на графике функции), иначе интегрирование будет тупо восприниматься как заученные механические действия при обнаружении хитрой закорючки в виде длинной буквы S.

Так что большинство проблем из-за НЕПОНИМАНИЯ ОСНОВ.



Ещё со школы все знают что на ноль делить нельзя. А почему? Учительница не разрешает?

Может быть надо действовать по анекдоту:
- Ты почему пьешь коньяк? Тебе же доктор запретил.
- А я ему денег дал и он мне разрешил.

Удивительно, почему в школе сразу же не объясняют, что деление на ноль — математическое действие из области высшей математики, но невозможное в элементарной математике из-за возникающей при этом неопределённости. Кстати, умножение на ноль тоже из высшей математики, то есть снова из серии "дети, это нельзя понять, это надо просто запомнить".

На самом деле всё это не так сложно понять. В элементарной математике получаются вполне определенные результаты, например 2х3=6, и если разделить результат на один из сомножителей, то мы совершенно чётко получим второй сомножитель: 6:3=2 или 6:2=3.

А вот действия с нолём не такие однозначные. Любое число "игрек" умножаем на ноль: Yх0=0. Теперь делим результат на один из сомножителей 0:Y=0 или 0:0=Y получая любое число, то есть неопределенный результат.

Почему так происходит? К пониманию этого можно приблизиться, даже не залезая в дебри высшей математики с теориями множеств, операциями с бесконечностью, комплексными числами и прочими хитромудростями.

Удивительно, но так же как и с неправильной "таблицей умножения", в школе почему-то не объясняют элементарные вещи: числа бывают количественные (кардинальные) и порядковые (ординальные). Например, понятия "10 квартир" - количественное и "квартира № 10" - порядковое, совершенно очевидно резко различаются. Количественное "10 квартир" можно делить, складывать и производить другие действия по правилам элементарной математики, которые дадут совершенно определенный количественный результат.

А вот порядковое число 10 (квартира № 10) при тех же действиях не даст никакого количественного результата, квартира все равно будет одна, только другая. Математические действия с порядковыми числами бывают нужны, например, когда требуется сразу вычислить на каком этаже находится нужная вам квартира и не кататься на лифте "методом тыка". Смотрим последний номер квартиры в предыдущем подъезде, вычитаем из нужного нам номера квартиры и делим результат на число квартир на этаже. Остаток от деления (если он есть) показывает где именно находится квартира на этаже. Profit!

Образно говоря, если вы не понимаете разницы между количественными и порядковыми числами, то при сложении 10-ти квартир и квартиры № 10 у вас может получиться и 20 квартир и квартира № 20.

Так вот ноль – совершенно особое порядковое (ординальное) число, которое по определению не может быть количественным. Ноль – главная точка отсчета, граница, не имеющая размера. Причем именно точка, а не отрезок.

Геометрическое представление любых натуральных и мнимых (отрицательных) чисел - отрезки, то есть части прямой линии, ограниченные точками, не имеющими размера. Если их как и отрезки можно делить на сколь угодно мельчайшие отрезки, то точку делить в элементарной математике уже невозможно по её определению как не имеющей размера.

Отсюда, кстати, и нюансы со временем. Следует отличать обозначение момента, точки на шкале времени и временнОй промежуток – отрезок на этой шкале между нолем и обозначенной точкой момента времени. Например, когда говорят о возрасте, то одновременно имеется в виду и сколько лет прожил, и который год идёт, на каком году жизни. А вот спрашивать текущее время надо "который час" (порядковое), а не "сколько времени" (количественное), ведь "сколько времени" относится к продолжительности каких-то процессов – приготовления еды, движения и т.п.

Надеюсь, теперь всем будет понятен математический юмор объявления: "Меняю одну жену 40 лет на две по 20 лет"?

Tags: Мироустройство, Наука
Subscribe
promo evan_gcrm march 28, 2018 19:35 141
Buy for 30 tokens
Основополагающим элементом, основным двигателем всей жизни, является репликатор. Скопированная информация - это и есть «репликатор». На Земле первый репликатор довольно бесспорный - это гены, или информация, закодированная в молекулах ДНК. Точнее это первый репликатор, о котором мы знаем.…
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments