boldachev
Занимаясь логическими парадоксами я выделил следующие логические ошибки, которые приводят к ним:
1) Слияние двух суждений в одно вследствие неправомерного отождествление их логических субъектов.
[(Я лгу)]
Парадокс «Я лгу» связан с не фиксируемым в мышлении слиянием двух суждений в одно, которое получается вследствие отождествления их логических субъектов.
Казалось бы, суждение «Я лгу», о ложности или истинности которого мы хотим узнать, имеет логическую форму «Х лжет». Однако, в парадоксе подразумевается не только констатация лжи (некто о чем-то врет или уже соврал), а и приписывание суждения конкретному человеку («Я»). Понятно, что суждение «Я лгу» просто написанное на бумаге, а не произнесенное кем-то не является парадоксальным – о таком суждении вообще некорректно задавать вопрос об его истинности или ложности без указания дополнительных суждений: о чем идет речь и пр. Парадокс возникает только при произнесении фразы «Я лгу» вслух. Следовательно формально – безотносительно того, кто говорит – мы имеем дело не с одним суждением, а двумя: (1) «Х лжет» и (2) «Y говорит “Х лжет”». И только второе из них тождественно суждению, обсуждаемому в парадоксе. Упрощение его формы до «Я лгу» до слияния в одно суждение произошло вследствие отождествления логических субъектов X=Y и при подстановке «Я».
Ну и теперь делаем следующий шаг: констатируем, что нас должна интересовать истинность полного суждения («Y говорит “Х лжет”»), а не просто записи «Х лжет». Ну и понятно, что полное суждение, которое и составляет содержание исходного парадокса, безусловно истинно (ну, конечно, при условии что фраза была произнесена). Так, к примеру, истинность суждения «я сказал “идет дождь”» зависит не от того идет или не идет дождь, а лишь от того сказал я эту фразу или нет. Так вот, суждение «Я говорю “Я лгу”», которое тождественно по смыслу исходному якобы парадоксальному «Я лгу», безусловно истинно, поскольку лишь констатирует, что в данный момент произносится некоторое суждение («Я лгу»), а не утверждает что-либо об истинности этого суждения: оно может быть и истинным, и ложным – истинность суждения о том, что я сейчас нечто произношу, от этого не изменится.
Еще раз хочу обратить внимание на то, что разрешение парадокса основано на понимании разницы между двумя суждениями «Х сейчас нечто говорит» и «Х лжет», которые логически некорректно были объединены в одно суждение вследствие отождествления логических субъектов разных суждений. Истинность суждения «Я сейчас нечто говорю» зависит только от того, говорю ли я это, а для утверждения истинности или ложности суждения «Я лгу» (не произнесенного), безусловно, недостаточно одного этого суждения, необходимо указать, о чем идет речь.
2) Использование обратного во времени переноса истинности.
[(Парадокс неожиданной казни)]
Рассмотрим парадокса неожиданной казни в наиболее популярной своей формулировке*:
«Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему:
Вас казнят на следующей неделе в полдень.
День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нём, только когда палач в полдень войдёт к вам в камеру.
Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал. Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «В воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в субботу вечером я буду знать об этом. А, по словам начальника, я не буду знать день своей казни. Следовательно, последний возможный день моей казни — суббота. Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать, что меня казнят в субботу, значит, и её можно исключить». Последовательно исключив пятницу, четверг, среду, вторник и понедельник, преступник пришёл к выводу, что начальник не сможет его казнить, выполнив все свои слова. На следующей неделе палач постучал в его дверь в полдень в среду — это было для него полной неожиданностью. Всё, что начальник тюрьмы сказал, осуществилось. Где недостаток в рассуждении заключённого?»
В рассуждениях заключенного, как и в исходном соглашении между ним и начальником тюрьмы не достает одного существенного условия: договоренности о том, когда и сколько раз заключенный должен заявить о своем знании дня казни (что, мол, она для него не сюрприз). Вариантов таких условий всего три:
1)в день, когда ему объявили о приговоре (в воскресенье);
2)в один из дней на неделе, но только один раз (скажем, утром до полудня);
3)или заключенный имеет право каждый день говорить "я точно знаю, что меня казнят сегодня, и казнь сегодня не будет сюрпризом для меня".
Судя по тому, что заключенный в своих рассуждениях считает, что может заявить о своем знании в последний день (в воскресенье), то подразумевается, что действует договоренность, записанная в п.2 (один раз и только в один день недели). Ведь если бы заключенный рассчитывал на вариант п.3 (заявлять каждый день), то знал бы, что останется жить без всяких рассуждений. К тому же начальник тюрьмы, предположительно не только честный, но и мало-мальски разумный человек, и прежде, чем обещать сюрприз, должен был бы оговорить невозможность такой абсурдной ситуации. Итак, если вариант п.3 исключается, то становится понятно, что у начальника тюрьмы не может возникнуть никаких проблем с сюрпризом: он казнит заключенного в любой из дней кроме названного при условии п.1 или в первый же день, когда заключенный не заявит с утра, что его казнят сегодня при варианте п.2. Следовательно, если бы формулировка была бы полной, то есть содержала указание на то, когда и сколько раз заключенный должен сообщить о том, что он знает день казни, то и не было рассуждений заключенного про воскресенье, а значит не было и самого парадокса.
Однако и в такой, а скорее, благодаря именно такой (неполной) формулировке парадокс содержит исключительно любопытный логический момент, касающийся передачи истинности между суждениями в обратном временном порядке. В логических рассуждениях время либо вообще не учитывается (если это не специальные темпоральные логики), либо неявно подразумевается, что исходное, принимаемое за истинное, суждение по времени предшествует последующим, выводимым. При таких последовательных рассуждениях, типа, если истинно А, то истинно В, а из В следует истинность С и т.д., ясно, что с истинностным значением начального суждения уже ничего не может произойти, оно остается неизменным по ходу логического вывода - оно ведь уже в прошлом. Но в рассуждениях заключенного мы сталкиваемся с другой ситуацией - он делает вывод в обратном временном порядке. Сначала он принимает в качестве истинного суждение "в воскресенье меня казнить не могут" и далее продолжая ту же логику переносит его истинность на суждения "в субботу меня казнить не могут", "в пятницу меня казнить не могут" и т.д. Вот тут-то мы и должны задать себе интересный вопрос: а сохраняется ли истинность исходного суждения (про воскресенье), когда заключенный рассуждает о других, предшествующих днях недели? Обратим внимание на то, что вывод заключенного о невозможности казни в воскресенье была основана на истинности суждения "я дожил до субботы". Но при рассуждении про возможность казни, скажем, в четверг суббота еще не наступила, а значит суждение "я дожил до субботы", а вмести с ним и "в воскресенье меня казнить не могут", не могут быть приняты как истинные. Вот и получается, что при продвижении по логической цепочке "если В то С, то П, то Ч и т.д." (где В, С, П, Ч суждения "меня не могут казнить в воскресенье [субботу, пятницу, четверг, соответственно]"), так вот, при таком логическом выводе не сохраняется истинность первого, исходного суждения (В), а значит и весь вывод теряет смысл.
Фактически мы пришли к вполне очевидному заключению: логическая истинность в цепочке рассуждений однозначно передается только при переходе от ранних во времени суждений к поздним, от суждений об уже свершившихся фактах к суждениям об еще не свершившихся фактах, а не наоборот. Передача истинности (если это вообще возможно) при обратных во времени рассуждениях требует особого логического исследования.
Итак, в парадоксе неожиданной казни логическое затруднение возникло по причине неполной формулировки условий: в нем не было установлено, когда и сколько раз заключенный имеет право заявить о своем знании о дне казни. Явное оговаривание этого условия делает бессмысленной как логику рассуждений заключенного, так и сам парадокс. Однако благодаря этой недосказанности мы смогли поставить проблему возможности переноса истинности суждений в обратном временном порядке.
* Исходная формулировка парадокса, сделанная в 1948 Д. Дж. О’Коннором, была про офицеров и тревогу.
3) Подмена локальной контрадикторности на глобальную.
[(Парадокс Брадобрея)]
Парадокс Брадобрея встречается в различных формулировках – одна из которых (в виде загадки) звучит так:
В одном городе все мужчины бреются, причем одни из них бреются сами, а другие бреются у брадобрея. Кто бреет брадобрея?
Понятно, что каждый из ответов:
1. брадобрей бреется сам,
2. брадобрей бреется у брадобрея
приводит к противоречию:
1. если он бреется сам, то не должен бриться у брадобрея,
2. если он бреется брадобреем, то не должен бриться сам.
Парадокс апеллирует к нашему пониманию закона исключенного третьего, из которого следует, что любое множество можно строго разделить на два непересекающиеся подмножества по признаку обладания некоторым предикатом: в одно подмножество войдут те, кто обладают предикатом, в другое – те, кто не обладают предикатом (или обладают его отрицанием). Подобные предикаты называются контрадикторными, и предложения, в которых одному субъекту приписываются такие предикаты, образуют логические противоречия, подчиняющиеся упомянутому закону исключенного третьего. Так мужчины города, включая брадобрея, строго делятся на два множества:
1. обладающие предикатом «бриться самому»,
2. обладающие отрицанием этого предиката, то есть не бреющиеся сами.
Также строго на два непересекающихся множества мужчины делятся и по признаку обладания предикатом «бреется у брадобрея»:
1. те, кого бреет брадобрей,
2. те, кого кто не бреет брадобрей.
При делении по предикату «бриться самому» брадобрей попадет в множество самостоятельно бреющихся, а по признаку «бреется у брадобрея» будет отнесен к тем, кого бреет брадобрей. Следовательно, если бы в условиях парадокса было предложено делить мужчин по признаку обладания каким-то одним предикатом и его отрицанием (то есть контрадикторно):
1. все мужчины в городе делятся на тех, кто бреется сам и не бреется сам или
2. все мужчины в городе делятся на тех, кто бреется у брадобрея и не бреется у брадобрея,
то при ответе на вопрос «к какому из подмножеств следует отнести брадобрея?» ни в первом, ни во втором случае никакой проблемы не возникло бы.
Парадокс же получился вследствие подмены однозначно контрадикторных предикатов – «бреется сам»/«не бреется сам» или «бреется у брадобрея»/«не бреется у брадобрея» – на псевдоконтрадикторные. Действительно, в условиях парадокса предлагается разделить всех мужчин города на два множества:
1. бреются сами и
2. бреются у брадобрея,
что явно некорректно, поскольку предикат «бреется сам» не является отрицанием предиката «бреется у брадобрея» на всем множестве мужчин деревни включая брадобрея. То есть предложенное разделение не является контрадикторным, а следовательно не может подчиняться закону исключенного третьего. Поэтому и не следует удивляться, что брадобрей оказывается одновременно и в одном, и в другом подмножествах.
Для логически строгой формулировки решения парадокса брадобрея предлагается ввести понятия абсолютной и локальной контрадикторности. Абсолютно контрадикторными следует считать такую пару предикатов, для которой предложения, образованные приписыванием их одному логическому субъекту, подчиняются закону исключенного третьего всегда и везде на любом множестве логических субъектов. К абсолютно контрадикторным, безусловно, следует отнести пару «предикат» / «его отрицание». В нашем случае абсолютно контрадикторными являются предикаты «бреется сам» / «не бреется сам» или «бреется у брадобрея» / «не бреется у брадобрея». Однако можно указать ситуации, когда закон исключенного третьего выполняется и для любых несовместимых предикатов. Например, если на столе находятся только красные и зеленые шары, то на этом множестве предложение «шар красный» и «шар зеленый» являются контрадикторными: они одновременно не могут быть истинными, и ложность одного однозначно подразумевает истинность другого. В этом случае мы можем говорить о локальной контрадикторности в пределах некоторого множества. Так, скажем, предикаты «мальчик» и «девочка» локально контрадикторны на множестве учеников класса, но не контрадикторны на множестве всех людей находящихся в школе, включая персонал. В парадоксе брадобрея предикаты «бреется сам» и «бреется у брадобрея» являются контрадикторными – локально контрадикторными – на множестве мужчин города за исключением брадобрея и не являются контрадикторными на всем множестве мужчин включая брадобрея, а следовательно, требование, чтобы брадобрей принадлежал лишь к одному из подмножеств, следует считать логически некорректным.
Ситуацию с парадоксом брадобрея можно проиллюстрировать на таком примере. Допустим, на столе находятся красные шары и зеленые кубики. Понятно, что пары предикатов «красный»/«зеленый» и «шарообразный»/«кубический» являются локально контрадикторными. Более того, на этом множестве предметов локально контрадикторными являются и пары предикатов «красный»/«кубический» и «зеленый»/«шарообразный». То есть мы можем сказать, что все предметы на столе однозначно можно разделить на два множества «красные» и «кубические» или «шарообразные» и «зеленые». Однако, как следует из определения, локальная контрадикторность выполняется лишь на строго фиксированном множестве, и если мы, к примеру, выложим на стол еще красный кубик, то на полученном множестве предметов закон исключенного третьего выполняться не будет – на вопрос «к какому из множеств – к красным или кубическим – нам следует отнести новый предмет?» мы не получим однозначного ответа.
Итак, теперь мы можем строго зафиксировать логическую природу парадокса брадобрея: в его формулировке заложена элементарная логическая ошибка – применение локально контрадикторных противоположностей за пределами множества, на котором они контрадикторны.
Для полноты рассмотрения проблемы необходимо проанализировать и другую распространенную формулировку парадокса брадобрея – в виде абсурда:
Брадобрею власти города приказали брить всех, кто сам не бреется, и не брить того, кто бреется сам. Должен ли брадобрей брить себя?
В ней парадоксальность ситуации подчеркивается невозможностью выполнить приказ: если брадобрея отнести к тем, кто не бреется сам, то он должен себя брить, а если он будет бриться сам, то он не должен себя брить. Хотя на первый взгляд парадокс в данной формулировке, вроде, и не связан с подменой абсолютной контрадикторности на локальную (деление идет по предикатам «бреется сам»/«не бреется сам»), но при детальном рассмотрении становится очевидным, что мы, как и в случае с парадоксом-загадкой, имеем дело с неоднозначностью применения закона исключенного третьего. Нам предлагается два варианта разделения: с позиции отдающего приказ деление производится по предикату «бреется сам», а с позиции брадобрея разделение должно осуществляться по предикату «бреет брадобрей». И понятно, что эти разделения совпадают только на множестве всех мужчин города за исключением брадобрея – можно констатировать локальную контрадикторность. А вот при добавлении к мужчинам брадобрея однозначность пропадает: при одном разделении он относится к одному подмножеству, а при другом – к другому. То есть мы опять имеем дело с неоднозначностью контрадикторного деления, с нарушением закона исключенного третьего.
В заключение хотелось бы отметить, что парадокс брадобрея не связан, как это принято считать, с теорией множеств, хотя и был впервые сформулирован Расселом в качестве иллюстрации к так называемому парадоксу «множества всех множеств». Действительно, странно было бы мыслить брадобрея как множество, включающее или не включающее в себя других мужчин города. Гораздо осмысленнее выглядит заключение, что парадокс Рассела, который звучит так:
Пусть К — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли К само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению К, оно не должно быть элементом К — противоречие. Если нет — то, по определению К, оно должно быть элементом К — вновь противоречие.
имеет ту же логическую природу, что и парадокс брадобрея – нарушение контрадикторности деления на подмножества. Если мы рассмотрим все множества за исключением самого множества К, то предикаты «содержит себя в качестве элемента» и «входит в множество К» будут однозначно контрадикторными (локально контрадикторными): из истинности предложения «множество содержит себя в качестве элемента» однозначно следует ложность «множество не входит в множество К» и наоборот. И понятно, что эта контрадикторность нарушается при рассмотрении всех множеств включая К.
Итак, мы безусловно можем и должны говорить, что парадокс брадобрея иллюстрирует парадокс Рассела, но именно и только как общелогический парадокс, связанный с нарушением закона исключенного третьего, а не как специальный парадокс теории множеств.
4) Попытка выяснить истинностное значение у языкового выражения, которое не является повествовательным предложением.
[(Предложение, написанное на этом листе, ложно)]
В заголовке – известный парадокс, который не нуждается в особом пояснении.
Анализ этого парадокса следует начать с напоминая, что истинностным значением обладают только повествовательные предложения, то есть такие, у которых есть логический субъект (подлежащее) и предикат, выражающий некоторое содержание, приписываемое логическому субъекту.
Что является логическим субъектом написанного на листе предложения «предложение, написанное на этом листе, ложно»?
О чем повествуется?
Ответ однозначен: логическим субъектом является фраза «предложение, написанное на этом листе». А предикат? Так вот, такового – нет. Истинностное значение не может быть предикатом. Словосочетания «стол ложен», «яблоко истинно» – это не повествовательные предложения, которые могут быть истинными или ложными.
Итак, написанное на листе предложение «Предложение, написанное на этом листе, ложно» не может быть ни истинным, ни ложным, поскольку по своей форме и содержанию не является повествовательным.
P.S. Тезис «истинностное значение не может быть предикатом» можно ослабить до утверждения (хотя и спорного) «истинностное значение (ложно/истинно) может быть предикатом только в случае, когда в качестве логического субъекта выступает суждение, к примету: «<стол вкусный> ложно», «<яблоко круглое> истинно». Но поскольку логический субъект «предложение, написанное на этом листе» не является суждением, то истинностное значение не может быть его предикатом, и фраза написанная на листе просто бессмысленна.
Это дополнение для особо дотошных, корректнее все же исходить из отрицания возможности считать истинностные значения предикатами, поскольку утверждение истинности или ложности суждения не сообщает ничего содержательного/повествовательного о самом суждении.
Journal information